Os cálculos trigonométricos e as Grandes Navegações

Desde o início do século XV, os portugueses haviam costeado a África Ocidental sempre rumo ao sul, seguindo ainda a maneira medieval de navegar, ou seja, nunca se afastando da costa. Aproximadamente em 1420, o Infante D. Henrique, o Navegador, de Portugal (1394-1460), fundou um instituto de pesquisas náuticas e um observatório astronômico em Sagres, no Cabo São Vicente. As obras de Ptolomeu e de outros escritores antigos foram então levadas para o instituto e seus ensinamentos utilizados nas explorações. Mas, certa vez, um dos capitães do Infante D. Henrique observou: "Com todo o devido respeito ao renomado Ptolomeu, chegamos a conclusões opostas às suas".

Tanto no observatório como no instituto havia matemáticos alemães e cartógrafos italianos, que preparavam mapas das terras e mares explorados desde 1450. Utilizando-se da Trigonometria, os primeiros recalcularam a circunferência terrestre, empregando o reduzido valor atribuído por Ptolomeu ao comprimento de um grau, com o que acabaram por obter uma estimativa favoravelmente pequena. E foi com base nessa avaliação que, em 1474, se fez um gráfico da rota da circunavegação da Terra pelo rumo oeste.

Os portugueses iniciaram a exploração na direção leste, com Bartolomeu Dias dobrando o Cabo da Boa Esperança em 1486 e Vasco da Gama alcançando a Índia pelo mesmo caminho em 1497. Os espanhóis, ao contrário, arrojaram-se para o lado oeste, com Colombo chegando às Índias Ocidentais em 1492. Tanto Colombo como Vasco da Gama tiveram de atravessar grandes extensões oceânicas, sem o menor vislumbre de terra. A fim de possibilitar a repetição das viagens, foram necessários a elaboração de cartas marítimas e o desenvolvimento de métodos para se determinar a posição de um navio em alto-mar. A feitura de tais cartas, abrangendo grandes áreas, em geral envolvia problemas de determinação das posições relativas de pontos dados sobre a superfície da Terra e de representação da sua esfericidade num mapa plano. A determinação da posição de um navio em alto-mar e da localização das terras recém-descobertas exigia processos de medição de latitude e longitude dos lugares envolvendo cálculos trigonométricos.