O Elo Matemática-Música

Igor Stravinski, compositor russo nascido em 1882 (autor de "O Pássaro de Fogo", "A Sagração da Primavera", "Petruchka" etc.), observou certa vez que a forma musical está muito mais próxima da forma matemática do que a literária. Assim como Stravinski, muitos compositores compartilham esse ponto de vista.

E desde quando o homem começou a suspeitar desse inter-relacionamento?

Podemos dizer que suas origens remontam à Antiguidade, quando Pitágoras e seus discípulos fizeram um estudo das cordas vibrantes.

A corda vibrante

Embora certamente não tenham sido os pitagóricos os primeiros a observar que a vibração de uma corda tensionada é capaz de produzir variados sons, a eles devemos a primeira teoria sobre o relacionamento entre a Música e a Matemática. Na sua forma mais simples, tal teoria pode ser assim descrita:

Tomemos uma corda de violão, de 60 cm de comprimento, distendida ao máximo.

Ao fazê-la vibrar, a corda emitirá um som, num determinado tom.

O tom é a medida do grau de elevação ou abaixamento do som de um instrumento.

Suponhamos, agora, que só a metade da corda (30 cm) vibre.

Um novo tom será ouvido, ou seja: uma oitava harmônica acima do primeiro.

Quando só 2/3 da corda vibrarem (isto é, 40 cm), o tom será uma quinta harmônica acima do primeiro tom considerado.

A razão do nome quinta harmônica é devido ao fato de que a nota representativa desse tom se acha, numa pauta musical, a 2 espaços e 3 linhas da nota inicial, perfazendo um total igual a 5.

No caso da oitava acima, a nota representativa se acha a 4 linhas e 4 espaços da nota original (total igual a 8).

Tomemos, agora, uma corda, igualmente tensionada, cujo comprimento seja o dobro da primeira (isto é, 120 cm). Ao vibrá-la, o tom ouvido será uma oitava harmônica abaixo do inicial.

Assim, Pitágoras descobriu que se pode abaixar ou aumentar um tom inicial, aumentando-se ou diminuindo-se, respectivamente, o comprimento da corda vibrante.

A importância desses fatos, para Pitágoras, residia em que os novos tons se associavam com o original por meio de frações, estabelecendo relações entre os números naturais. Confirmava-se, pois, ainda mais a sua teoria de que tudo no Universo estaria relacionado com os números naturais.

Pitágoras elaborou sua teoria musical indicando as notas por meio dessas relações.

Assim, para os pitagóricos, a fração 1/2 indicava uma oitava acima do primeiro tom.

Vejamos como isso se aplica à escala musical. (A escala musical, tomando-se dó como tom inicial, é: dó, ré, mi, fá, sol, lá, si, dó.)

Por exemplo, se o tom inicial é dó, a nota indicada por 2/3 será sol, ou seja, a quinta nota acima de dó.

Do mesmo modo, 6/5 de uma corda (maior que a considerada) que produza o dó corresponderão à nota lá; 3/2, à nota fá; 16/15, à si; 2, à dó (uma oitava abaixo).

Frequências e intervalos

Sabemos, atualmente, que tais razões são relações entre frequências.

A frequência de uma corda corresponde ao número de vibrações que emite por segundo, medidas numa unidade denominada hertz (abreviatura: Hz).

O tom mais baixo perceptível pelo ouvido humano é de 16 oscilações por segundo. Isto significa que ele tem uma frequência de 16 hertz. Podemos representar duas vibrações sucessivas por uma onda constituída de uma crista e de um vale. Tal onda recebe o nome de onda senoidal. Um tom cuja frequência corresponde a 16 hertz é representado por 16 cristas de onda com 16 vales adjacentes.

Os tons mais altos audíveis pelo ouvido humano têm frequências entre 14000 e 16000 Hz. Um contrabaixo, por exemplo, produz tons cujas frequências se acham entre 40 e 240 Hz. Os instrumentos que apresentam maiores faixas de frequência são os órgãos e pianos (30 a 5000 Hz).

A experiência nos mostra que o efeito musical de dois sons emitidos sucessiva (melodia) ou simultaneamente (acordes) só depende das relações entre as suas frequências (chamadas intervalos).